Teoría de colas o líneas de espera: qué es, elementos, fórmulas y ejemplo resuelto paso a paso

Artículo original de Hermelinda Santiago Martínez. Actualizado y ampliado por el equipo de Emprendices en octubre de 2026.

Todos hemos hecho fila en un banco, en un supermercado o al teléfono con un centro de atención. La teoría de colas, también llamada teoría de líneas de espera, estudia matemáticamente esas filas para responder preguntas muy prácticas: ¿cuánto esperará un cliente en promedio?, ¿cuántas personas habrá en la fila?, ¿conviene abrir otra caja? En esta guía encontrarás qué es, sus elementos, la estructura básica de los modelos, las fórmulas del modelo M/M/1 y un ejemplo resuelto paso a paso.

¿Qué es la teoría de colas?

Es el estudio matemático del comportamiento de las líneas de espera. Una cola se forma cuando los clientes llegan a un lugar a pedir un servicio a un servidor que tiene una capacidad limitada de atención: si el servidor está ocupado y el cliente decide esperar, se forma la fila.

Forma parte de la investigación de operaciones. Su origen se atribuye al ingeniero danés Agner Krarup Erlang, que en 1909 publicó sus primeros trabajos para calcular cuántas líneas necesitaba la compañía telefónica de Copenhague para atender las llamadas sin demoras excesivas.

Algo importante: la teoría de colas no es una técnica de optimización. Sus fórmulas describen cómo se comporta una fila bajo ciertos supuestos y dan una primera aproximación al problema, rápida y barata, para que quien decide elija la mejor alternativa.

¿Para qué sirve la teoría de colas?

Sirve para saber qué nivel de servicio se puede esperar de un recurso (una caja, un cajero, un médico, un servidor web) y cómo diseñarlo para ofrecer un buen servicio a los clientes sin gastar de más. Algunas aplicaciones:

• Cajas de supermercados y bancos.
• Cajeros automáticos y estaciones de gasolina.
• Restaurantes de comida rápida y apps de domicilios.
• Centros de atención telefónica (call centers).
• Urgencias de hospitales y consultorios.
• Facturación en aeropuertos y aviones en espera para aterrizar.
• Peajes e intersecciones de tráfico.
• Servidores web, redes de datos y procesos en una computadora.
• Líneas de producción y mantenimiento de máquinas.

Objetivos de la teoría de colas

• Encontrar el nivel de capacidad que minimiza el costo total del sistema.
• Evaluar cómo afectaría al costo cada alternativa: más servidores, servidores más rápidos, otra forma de organizar la fila.
• Equilibrar los costos (cuantitativos) con la calidad del servicio (cualitativa).
• Controlar el tiempo de espera, porque la paciencia de los clientes tiene un límite: si la espera es larga, se van.

Elementos de un sistema de colas

Esta es la estructura básica de los modelos de línea de espera: los clientes salen de una fuente, llegan al sistema, esperan en la cola, son elegidos según una disciplina, reciben el servicio y salen.

Población finita e infinita

En una población infinita, el número de posibles clientes es tan grande que la llegada de uno no cambia la probabilidad de que lleguen otros (la fila de un banco o de un supermercado). En una población finita, sí la cambia: si un taller tiene cuatro barcos y los cuatro están en reparación, ninguno más puede descomponerse por ahora. Suponer una población infinita simplifica los cálculos y funciona bien cuando la población es muy grande.

Disciplinas de la cola

• FIFO o PEPS (primero en entrar, primero en salir): la más común.
• LIFO o UEPS (último en entrar, primero en salir): como una pila de platos o de documentos.
• SIRO (servicio en orden aleatorio).
• Por prioridad: por ejemplo, en urgencias se atiende primero al paciente más grave.

Mecanismo de servicio

La capacidad de servicio es el número de clientes que se pueden atender al mismo tiempo. Si hay un solo servidor, el sistema es monocanal; si hay varios, multicanal. Si el cliente debe pasar por varias estaciones seguidas, el sistema es multifase. El tiempo de servicio puede ser constante o aleatorio; en los modelos básicos se supone que sigue una distribución exponencial.

Estructuras típicas de líneas de espera

En la estructura de una línea y un servidor, por ejemplo un autolavado automático, cada auto entra, pasa por la máquina y sale.

En la estructura de una línea con varios servidores, los clientes toman un turno al llegar y pasan al primer servidor que se desocupe. Es más justa que tener varias filas, porque respeta el orden de llegada, aunque exige controlar bien la fila.

Notación de Kendall

Para identificar un modelo de colas se usa la notación propuesta por David Kendall en 1953, con la forma A/B/c/K/N/D:

• A: distribución de los tiempos entre llegadas.
• B: distribución de los tiempos de servicio.
• c: número de servidores.
• K: capacidad máxima del sistema.
• N: tamaño de la población.
• D: disciplina de la cola.

Las letras más usadas son M (Markoviana: llegadas de Poisson o tiempos exponenciales), D (determinística o constante) y G (distribución general). Así, M/M/1 es el modelo con llegadas de Poisson, servicio exponencial y un solo servidor, y M/M/c el mismo modelo con c servidores. Cuando se omiten K, N y D, se entiende que la capacidad y la población son infinitas y la disciplina es FIFO.

Fórmulas del modelo M/M/1

Con λ (lambda) = tasa promedio de llegadas y μ (mu) = tasa promedio de servicio, y siempre que λ < μ:

Estas medidas se relacionan con la ley de Little (John Little, 1961): L = λ · W y L_q = λ · W_q. Es decir, el número promedio de clientes es igual a la tasa de llegadas por el tiempo promedio que pasan en el sistema.

Ejemplo resuelto de teoría de colas

A la ventanilla de un banco llegan en promedio 20 clientes por hora (λ = 20) y el cajero atiende en promedio 25 clientes por hora (μ = 25). Las llegadas son aleatorias y el tiempo de atención es exponencial, así que se usa el modelo M/M/1.

1. Utilización: ρ = 20 / 25 = 0,8. El cajero está ocupado el 80 % del tiempo.
2. Probabilidad de que no haya nadie: P₀ = 1 − 0,8 = 0,2 (20 % del tiempo).
3. Clientes en el sistema: L = 20 / (25 − 20) = 4 clientes.
4. Clientes en la fila: L_q = 20² / [25 × (25 − 20)] = 400 / 125 = 3,2 clientes.
5. Tiempo en el sistema: W = 1 / (25 − 20) = 0,2 horas = 12 minutos.
6. Tiempo en la fila: W_q = 20 / [25 × (25 − 20)] = 0,16 horas = 9,6 minutos.

Comprobación con la ley de Little: L = λ · W = 20 × 0,2 = 4 clientes. ✔

¿Qué pasa si el cajero se vuelve más rápido? Si con un sistema nuevo atiende 30 clientes por hora (μ = 30):

Un aumento del 20 % en la velocidad del servicio reduce el tiempo total a la mitad. Por eso las filas se vuelven tan largas cuando un servidor trabaja cerca del 100 % de su capacidad.

Costos de un sistema de colas

Toda decisión sobre una fila enfrenta dos costos:

• Costo de servicio: lo que cuesta tener capacidad (salarios, equipos). Aumenta si se agregan servidores o se hacen más rápidos.
• Costo de espera: lo que cuesta que los clientes esperen (clientes perdidos, mala imagen, tiempo improductivo). Disminuye cuando mejora el servicio.

El costo total por hora puede estimarse como: Costo total = (costo por servidor × número de servidores) + (C_w × L), donde C_w es el costo de espera por cliente y por hora, y L el número promedio de clientes en el sistema.

En el ejemplo del banco, si cada cliente en espera «cuesta» 10 dólares por hora y el cajero actual cuesta 15 dólares por hora, el costo total es 15 + 10 × 4 = 55 dólares por hora. Con el sistema más rápido, que cuesta 22 dólares por hora, sería 22 + 10 × 2 = 42 dólares por hora. Aunque el servicio es más caro, el costo total baja. El objetivo es encontrar ese punto de costo mínimo.

Ventajas y limitaciones de la teoría de colas

Ventajas

• Da resultados rápidos y baratos con fórmulas sencillas.
• Permite comparar alternativas antes de invertir.
• Muestra tendencias y órdenes de magnitud útiles para decidir.
• Se aplica a casi cualquier servicio: comercio, salud, transporte, tecnología o manufactura.

Limitaciones

• Los modelos simplifican la realidad y dependen de supuestos (por ejemplo, llegadas de Poisson).
• Las fórmulas cerradas suelen describir el sistema en estado estable, no en horas pico o situaciones cambiantes.
• Si λ es igual o mayor que μ, la fila crece sin límite y el modelo no tiene solución estable.
• Para sistemas complejos se necesita simulación, que es más costosa, tarda más en desarrollarse y validarse, y no garantiza soluciones óptimas.

Como cualquier modelo cuantitativo, la teoría de colas apoya la decisión, pero no la sustituye. Si te interesa el tema, revisa cómo se hace la definición de problemas de decisión.

Preguntas frecuentes

¿Quién creó la teoría de colas?

Se considera su fundador a Agner Krarup Erlang, ingeniero danés que a comienzos del siglo XX estudió la congestión del tráfico telefónico.

¿Qué significan λ y μ?

λ es la tasa promedio de llegadas (clientes por unidad de tiempo) y μ es la tasa promedio de servicio (clientes que un servidor atiende por unidad de tiempo).

¿Qué pasa si llegan más clientes de los que se pueden atender?

Si λ ≥ μ, la cola crece de forma indefinida. Hay que aumentar la capacidad: más servidores, servicio más rápido o reducir la demanda en horas pico, por ejemplo con citas.

¿Cuál es la diferencia entre teoría de colas y simulación?

La teoría de colas usa fórmulas para sistemas que cumplen ciertos supuestos. La simulación reproduce el sistema en una computadora y sirve para casos más complejos, a cambio de más tiempo y costo.

Una fila bien gestionada también es parte de la experiencia del cliente. Aquí te explicamos la relación entre las relaciones humanas y el servicio al cliente.

Bibliografía

1. Hillier, Frederick S. y Lieberman, Gerald J. (2010). Introducción a la investigación de operaciones (9.ª ed.). México: McGraw-Hill.
2. Pazos Arias, José J., Suárez González, Andrés y Díaz Redondo, Rebeca P. Teoría de colas y simulación de eventos discretos. Madrid: Pearson Prentice Hall.
3. Escudero, Laureano F. (1972). Aplicaciones de la teoría de colas. Barcelona: Ediciones Deusto.
4. Taha, Hamdy A. Investigación de operaciones. México: Pearson Educación.